Kapitel 5: Transformationen

Affine Transformationen (Translation, Rotation, Skalierung), ihre Verkettung als nicht-kommutative Matrixmultiplikation, homogene Koordinaten und der Szenegraph. Grundlage für die Positionierung aller Objekte in der Szene.

Überblick

Geometrische Objekte werden zuerst im lokalen Koordinatensystem (local / object coordinate system) modelliert und dann per Transformation ins gemeinsame Weltkoordinatensystem (world coordinate system) eingeordnet. Bewegt werden dabei nur die Vertices (Eckpunkte), geschrieben als Spaltenvektoren.

Roter Faden:

• Translation = Vektoraddition, Rotation/Skalierung = Matrixmultiplikation.
• Rotation und Skalierung wirken immer relativ zum Ursprung.
• Um additive und multiplikative Anteile in einer Matrix zu vereinen, braucht man homogene Koordinaten (4. Koordinate).
• Verkettungen sind nicht kommutativ: die Reihenfolge entscheidet.

Affine Transformationen

Affine Transformation (affine transformation) ist der Oberbegriff für Translation, Rotation und Skalierung. Eigenschaften:

• Was parallel ist, bleibt parallel.
• Teilverhältnisse (Länge, Fläche, Volumen) bleiben konstant.

Ein Punkt ist ein Spaltenvektor:

$$\vec{p} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad\text{(2D)} \qquad \vec{p} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \quad\text{(3D)}$$

Translation (Verschiebung)

Reine Vektoraddition eines Translationsvektors $\vec{t}$. Neutrales Element: der Nullvektor.

$$\vec{p'} = \vec{p} + \vec{t}$$

Beispiel: Punkt $(0.3, 0.1, 0)^T$, Translation $(0.5, 0.7, 0)^T$:

$$\begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.7 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.8 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Skalierung (Größenänderung)

Komponentenweise Multiplikation mit den Faktoren $s_x, s_y, s_z$ (neutrales Element: Faktor 1):

$$\begin{bmatrix} p'_x \\ p'_y \\ p'_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$$

Wichtig (typische Falle): Skalierung ist nur gegenüber dem Nullpunkt invariant. Liegt ein Objekt nicht im Ursprung, wird sein Abstand zum Ursprung mitskaliert, also ändert sich neben der Größe auch die Position. Beispiel: ein Rechteck von $x=1$ bis $x=2$ wird mit $s_x=3$ zu einem Rechteck von $x=3$ bis $x=6$.

Rotation (Drehung)

Drehung um einen Winkel $\alpha$, immer relativ zum Ursprung. Rotation um die Z-Achse:

$$R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Herleitung (2D): Die Spalten der Rotationsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren. $\vec{e}_x=(1,0)^T$ wird auf $(\cos\alpha, \sin\alpha)^T$ abgebildet (1. Spalte), $\vec{e}_y=(0,1)^T$ auf $(-\sin\alpha, \cos\alpha)^T$ (2. Spalte).

Beispiel: $90^\circ$ um Z ($\cos 90^\circ=0,\ \sin 90^\circ=1$), Punkt $(0.3,0.1,0)^T$:

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 \\ 0.3 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Drehen/Skalieren um einen Referenzpunkt

Da Rotation und Skalierung nur um den Ursprung wirken, braucht man für einen beliebigen Referenzpunkt (reference point) einen dreistufigen Algorithmus:

1. Referenzpunkt in den Ursprung verschieben: $M_{T1} = T(-\vec{p})$
2. Transformation anwenden (z.B. $M_R$)
3. Zurückverschieben: $M_{T2} = T(+\vec{p})$

$$M = M_{T2} \cdot M_R \cdot M_{T1}$$

Im Code wird die Kette in umgekehrter Reihenfolge notiert:

Matrix4f m = new Matrix4f();
m.translate( 0.5, 0.7, 0.);   // 3. Ruecktransformation (MT2)
m.rotate( 60., 0., 0., 1.);   // 2. Rotation um Z        (MR)
m.translate(-0.5,-0.7, 0.);   // 1. in den Ursprung      (MT1)

Reihenfolge: Nicht-Kommutativität

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: $A\cdot B \neq B\cdot A$. Bei Spaltenvektoren steht die zuerst anzuwendende Transformation ganz rechts (direkt an $\vec{p}$).

Mit $P=(1,2,3)^T$, Rotation $R$ (um Z) und Translation $T(2,3,0)$:

$$T\cdot R\cdot P = (3,\ 2,\ 3)^T \qquad\neq\qquad R\cdot T\cdot P = (5,\ -3,\ 3)^T$$

Hinweis (mögliche Unstimmigkeit in den Folien): Die konkreten Zahlenwerte hängen von der genauen Rotationsmatrix ab und lassen sich mit einer sauberen $R_z(90°)$ nicht exakt reproduzieren. Rechnet man mit R_z(90°)=\begin{psmallmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{psmallmatrix} (nur die $x,y$-Ebene), erhält man $T\cdot R\cdot P=(0,4,3)^T$ und $R\cdot T\cdot P=(-5,3,3)^T$. Die Kernaussage bleibt in jedem Fall dieselbe: $A\cdot B \neq B\cdot A$, die Reihenfolge ist entscheidend.

Merksatz: "Die Geometrie wandert rückwärts durch das Programm und sammelt die Transformationen ein."

Wegen der Assoziativität sind beide Rechenwege äquivalent:

$$\vec{P'} = M_2\cdot(M_1\cdot\vec{P}) = (M_2\cdot M_1)\cdot\vec{P}$$

Rechts steht die akkumulierte Matrix $M = M_2\cdot M_1$: OpenGL multipliziert alle Transformationen zu einer Matrix zusammen und wendet sie dann einmal auf jeden Vertex an (schneller, weniger Rundungsfehler).

Homogene Koordinaten

Eine reine $3\times 3$-Matrix kann keine Translation ausdrücken (Translation ist Addition, nicht Multiplikation). Lösung: eine zusätzliche 4. Koordinate $w$ (in 2D die 3.), also Abbildung von $\mathbb{R}^3$ in den projektiven Raum $\mathbb{P}^3$:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$$

Die Homogenisierung (perspective divide) kehrt in den euklidischen Raum zurück, indem man durch $W$ teilt ($W\neq 0$):

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ W \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} X/W \\ Y/W \\ Z/W \end{pmatrix}$$

In der homogenen Matrix ist der obere linke Block der multiplikative Teil (Rotation/Skalierung), die letzte Spalte der additive Teil (Translation).

Die fünf 4x4-Transformationsmatrizen (prüfungsrelevant)

$$R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Vorzeichen-Merkhilfe: Bei $R_y$ steht $+\sin$ oben rechts und $-\sin$ unten links (spiegelverkehrt zu $R_x$ und $R_z$).

Szenegraph (scene graph)

Baumförmige Struktur zur Organisation einer Szene. Kind-Objekte erben die Transformationen ihrer Eltern. Für ein Blatt (Geometrie $P$) wird die Kette von der Wurzel zum Blatt multipliziert; die Wurzel-Transformation steht ganz links (wirkt als letzte, äußerste Transformation):

$$T_1 \cdot T_3 \cdot T_6 \cdot P$$

Beispiel Miniatursonnensystem: Wurzel $T_1$ = Rotation um die Y-Achse der Sonne.

• Sonne: $M_S = T_1 \cdot T_2$ (mit $T_2$ = Skalierung / "Pumpen")
• Erde: $M_E = T_1 \cdot T_3$ (mit $T_3$ = Translation weg von der Sonne + Rotation um eigene Y-Achse)

So umkreist die Erde die Sonne (geerbte $T_1$) und dreht sich zugleich um sich selbst.

Prüfungsrelevanz

• Die fünf 4x4-Matrizen aufstellen können (besonders das $R_y$-Vorzeichenmuster).
• Konkrete Zahlenbeispiele nachrechnen (Translation, Skalierung, $90^\circ$-Rotation).
• Warum homogene Koordinaten nötig sind und wie die Homogenisierung funktioniert.
• Nicht-Kommutativität und die umgekehrte Code-Reihenfolge.
• Referenzpunkt-Algorithmus $T(+\vec{p})\cdot R\cdot T(-\vec{p})$.
• Szenegraph: Vererbung und die akkumulierte Kette für ein Blatt.

Typische Fehler

• Reihenfolge der Matrizen verwechseln (nicht kommutativ). Zuerst angewandte Transformation steht rechts.
• Vergessen, dass Rotation und Skalierung nur um den Ursprung wirken (nicht im Ursprung liegende Objekte verschieben sich mit).
• Falsches $\sin$-Vorzeichen, vor allem bei $R_y$.
• Homogenisierung (Division durch $W$) vergessen bzw. $W=0$ nicht ausschließen.
• Elterntransformation im Szenegraph als erste statt als letzte (äußerste) anwenden.

Glossar

Deutsch	English
Vertex / Eckpunkt	vertex
Spaltenvektor	column vector
lokales / Weltkoordinatensystem	local / world coordinate system
affine Transformation	affine transformation
Translation / Rotation / Skalierung	translation / rotation / scaling
neutrales Element	identity element
nicht kommutativ	non-commutative
Referenzpunkt	reference point
akkumulierte Matrix	accumulated matrix
homogene Koordinaten	homogeneous coordinates
Homogenisierung	homogenization / perspective divide
Szenegraph	scene graph
Vererbung	inheritance