Kapitel 10: Farbräume

Farbmodelle (color models) und Farbräume (color spaces) für digitale Bilder: hardwareorientiert (RGB, RGBA, CMY, CMYK) vs. wahrnehmungsorientiert (HSV, YCbCr, CIE XYZ, CIELab). Kernthema sind das RGB- und das HSV-Modell mit ihren Kanälen und der Umrechnung.

Überblick

Alle Farbmodelle richten sich an der menschlichen Farbwahrnehmung aus. Der Mensch besitzt drei unterschiedliche Sinneszellen (Zapfen-Typen), deshalb arbeiten Farbmodelle immer mit drei Grundfarben (primary colors) und spannen einen dreidimensionalen Farbraum auf. Ein viertes Zahlenfeld (z.B. Alpha oder Key) ist eine technische Erweiterung, kein zusätzlicher Wahrnehmungskanal.

Grundlegende Unterscheidung (prüfungsrelevant):

• Hardwareorientierte Farbmodelle (hardware-oriented): RGB, RGBA, CMY, CMYK. Orientiert an der Technik der Ein-/Ausgabegeräte (Bildschirm, Drucker). Sie eignen sich schlecht zur Modellierung und Beurteilung von Farben.
• Wahrnehmungsorientierte Farbmodelle (perception-oriented): HSV, YCbCr, CIE XYZ, CIELab. Sie bilden die menschliche Wahrnehmung ab und trennen Farbigkeit/Chrominanz (chrominance) von Helligkeit/Intensität (intensity).

Roter Faden:

• RGB = additive Mischung (Licht, Display), CMY(K) = subtraktive Mischung (Pigment, Druck).
• Der RGB-Würfel ist die gemeinsame geometrische Basis (CMY ist das negierte RGB, HSV entsteht durch Projektion des Würfels).
• Wahrnehmungsmodelle trennen Chrominanz und Helligkeit, was Kompression und Bildverarbeitung nur im Helligkeitskanal ermöglicht.
• Nur die CIE-Farbräume (XYZ, CIELab) erfassen alle wahrnehmbaren Farben; das Farbgamut (color gamut) beschreibt, was ein konkretes Gerät davon darstellen kann.

Additive vs. subtraktive Farbmischung

Additive Farbmischung (additive color mixing): Die Intensität (Helligkeit) nimmt zu, wenn eine weitere Lichtfarbe hinzukommt. Zwei Taschenlampen beleuchten eine Fläche heller als eine. Modell für selbstleuchtende Geräte (Displays, Beamer).

$$\text{Rot} + \text{Grün} + \text{Blau} = \text{Weiß}$$

Subtraktive Farbmischung (subtractive color mixing): Die Intensität nimmt ab, wenn ein weiteres Farbpigment aufgetragen wird. Farbe auf weißem Papier filtert Frequenzbereiche heraus. Modell für den Druck.

$$\text{Cyan} + \text{Magenta} + \text{Yellow} = \text{Schwarz (theoretisch)}$$

Hinweis (mögliche Unstimmigkeit): Auf der Folie steht auch bei der subtraktiven Mischung die Formulierung "wenn eine weitere Lichtfarbe hinzu kommt". Gemeint ist hier das Auftragen von Farbpigment (nicht von Licht); durch Pigment wird das Bild dunkler.

RGB-Farbmodell (Wiederholung)

Hardwareorientiert, additiv. Koordinatenwerte zwischen 0 und 1 oder zwischen 0 und 255. Eine Farbe ist ein 3D-Vektor:

$$\text{Farbe} = [r,\, g,\, b]^t$$

Ausgezeichnete Punkte im RGB-Würfel (RGB cube):

$$\text{Schwarz} = [0,0,0]^t \text{ (Ursprung)}, \qquad \text{Rot} = [1,0,0]^t, \qquad \text{Weiß} = [1,1,1]^t$$

Additive Mischung als Vektoraddition:

$$\text{Magenta} = \text{Rot} + \text{Blau} = [1,0,0]^t + [0,0,1]^t = [1,0,1]^t$$ $$\text{Weiß} = \text{Rot} + \text{Grün} + \text{Blau} = [1,0,0]^t + [0,1,0]^t + [0,0,1]^t = [1,1,1]^t$$

Unbuntgerade (achromatic / gray axis): die Raumdiagonale des Würfels von Schwarz $[0,0,0]$ nach Weiß $[1,1,1]$. Haben alle Komponenten den gleichen Wert ($r=g=b$), so ist es ein Grauton (gray value).

Eigenschaften von RGB:

1. Das Aussehen der Farbe wird in erster Linie durch die größte(n) Komponente(n) bestimmt.
2. Gleiche Werte aller Komponenten ($r=g=b$) ergeben einen Grauton (Unbuntgerade).
3. Nachteil: Helligkeitsunterschiede bei der Wahrnehmung von Farbtönen werden nicht berücksichtigt.

RGBA-Farbmodell

Erweiterung von RGB um den Alpha-Kanal (A = Transparenz / Deckkraft). Ermöglicht die Darstellung transparenter, überlappender Farbflächen (z.B. in OpenGL). Typische 32-Bit-Speicherung mit je 8 Bit pro Kanal:

Bit:      31 ........ 24 23 ........ 16 15 ......... 8  7 ......... 0
Channel:  |  Alpha (8)  | Red (8)      | Green (8)     | Blue (8)     |

Die Reihenfolge der Überlagerung bestimmt das Mischergebnis: Welche halbtransparente Fläche "oben" liegt, verändert die resultierende Überlappungsfarbe.

CMY-Farbmodell

Hardwareorientiert, subtraktiv. Grundfarben Cyan, Magenta, Yellow. CMY ist das negierte RGB.

Zusammenhang RGB und CMY: Im selben Würfel liegen sich die Farben gegenüber:

gegenüber
Cyan	Rot
Magenta	Grün
Yellow	Blau
Weiß	Schwarz

Umrechnung bei Wertebereich $[0,1]$:

$$C = 1 - R, \qquad M = 1 - G, \qquad Y = 1 - B$$

CMYK-Farbmodell

Erweiterung von CMY um K = Key (Schwarz) als 4. Komponente. Grund: Die Mischung aus C-, M- und Y-Pigmenten sieht im Druck nicht sauber schwarz aus. "Key" bezieht sich auf die schwarze Schlüsselplatte im Druck, an der die anderen drei Farbtöne ausgerichtet werden; der K-Kanal erhöht Kontraste.

Reines Schwarz wird über den K-Kanal statt über volle C/M/Y erzeugt:

$$\text{Reines Schwarz} = (1,1,1)^t_{\text{CMY}} = (0,0,0,1)^t_{\text{CMYK}}$$

Wahrnehmungsorientierte Modelle: Chrominanz und Helligkeit

Der Mensch beurteilt Farben nach Chrominanz (chrominance = Farbigkeit, also Farbton + Sättigung) und Intensität (intensity = Helligkeit). Wahrnehmungsorientierte Modelle trennen diese beiden Aspekte gezielt, was das Ziel von HSV und YCbCr ist.

HSV-Farbmodell (Hue, Saturation, Value)

Wahrnehmungsorientiert. Ziel: die menschliche Farbwahrnehmung abbilden. Geometrische Darstellung als Kegel (cone) oder Zylinder (cylinder), schematisch auch als sechseckiger Hexcone. Komponenten:

• Hue (H) = Farbton: Teil der Chrominanz; Farbwinkel auf dem Farbkreis, $0^\circ$ bis $360^\circ$.
• Saturation (S) = Sättigung: Teil der Chrominanz; beschreibt den "Weiß-Anteil" der Farbe. Rosa = geringe Sättigung, Signalrot = hohe Sättigung. Bereich $[0,1]$.
• Value (V) = Intensität / Helligkeit: Bereich $[0,1]$.

Formeln

Value (Helligkeit / Intensität) ist die größte Komponente:

$$V = \max(r, g, b), \qquad V \in [0, 1]$$

Saturation (Sättigung) ist das Verhältnis von Farbspanne zu Maximum:

$$S = \frac{\max(r,g,b) - \min(r,g,b)}{\max(r,g,b)} = 1 - \frac{\min(r,g,b)}{\max(r,g,b)}, \qquad r,g,b \in [0,1]$$

• Minimale Sättigung $S = 0$, wenn $\min(r,g,b) = \max(r,g,b)$ (also $r=g=b$, Grauwerte).
• Maximale Sättigung $S = 1$, wenn $\min(r,g,b) = 0$ (kein "Weißanteil").

Hue (Farbton) ist der Farbwinkel auf dem Farbkreis:

$$H \in [0^\circ, 360^\circ], \qquad H = 0^\circ \text{ (Rot)}, \quad H = 120^\circ \text{ (Grün)}, \quad H = 240^\circ \text{ (Blau)}$$

Der Farbkreis ist in sechs Grundfarbsektoren unterteilt (Rot $0^\circ/360^\circ$, Gelb, Grün $120^\circ$, Cyan, Blau $240^\circ$, Magenta); jeder Sektor umfasst $\tfrac{1}{6} = 0{,}16\ldots$ des Kreises.

Zusammenhang mit RGB

Geometrisch entsteht HSV durch einen Blick entlang der Unbuntgeraden auf den RGB-Würfel: Die sichtbaren Würfelflächen werden auf ein Sechseck projiziert. Damit ist $V = \max(r,g,b)$ zugleich der Kegelradius/die Kegelhöhe.

Ausgezeichnete Farben (HSV)

• Schwarz $= [\text{egal}, \text{egal}, 0]^t_{\text{HSV}}$ (V = 0; H und S beliebig)
• Weiß $= [\text{egal}, 0, 1]^t_{\text{HSV}}$ (S = 0, V = 1; H beliebig)
• Rot $= [0, 1, 1]^t_{\text{HSV}} = [1, 1, 1]^t_{\text{HSV}}$ (Farbwinkel $0^\circ = 360^\circ$, daher zwei Notationen; S = 1, V = 1)

Kanalzerlegung als Graustufenbild (wichtig, Aufgabenformat)

Zerlegt man ein Farbbild in seine H-, S- und V-Kanäle, erhält man drei Graustufenbilder. Leseregel: weiß = hoher Wert (max), schwarz = niedriger Wert (min).

• S-Kanal (Sättigung): grauer/ungesättigter Hintergrund erscheint schwarz (S = 0); kräftige Farben erscheinen hell.
• V-Kanal (Helligkeit): sieht aus wie das Farbbild "ohne Farbe".
• H-Kanal (Farbton): im Rotbereich sichtbarer harter Übergang von $0^\circ$ zu $360^\circ$ (Sprung von schwarz zu weiß an derselben Farbe).

Worked Example: RGB nach HSV

Gegeben eine Farbe im Wertebereich $[0,1]$: $\text{Orange} = [1{,}0,\ 0{,}5,\ 0{,}0]^t$.

Schritt 1: $\max(r,g,b) = 1{,}0$ (das ist $r$), $\min(r,g,b) = 0{,}0$ (das ist $b$).

Schritt 2 (Value):

$$V = \max(r,g,b) = 1{,}0$$

Schritt 3 (Saturation):

$$S = 1 - \frac{\min}{\max} = 1 - \frac{0{,}0}{1{,}0} = 1{,}0$$

Schritt 4 (Hue): Das Maximum liegt im roten Kanal, und Grün $>$ Blau, also liegt der Farbton im Sektor Rot ($0^\circ$) nach Gelb ($60^\circ$). Da Grün genau auf halber Höhe zwischen Minimum und Maximum liegt, ergibt sich

$$H = 30^\circ$$

Ergebnis: $\text{Orange} = [30^\circ,\ 1{,}0,\ 1{,}0]^t_{\text{HSV}}$ - voll gesättigt, volle Helligkeit, Farbton zwischen Rot und Gelb.

Kontrollbeispiel Grauton: Für $r=g=b=0{,}4$ gilt $\min = \max$, also $S = 0$ und $V = 0{,}4$; H ist beliebig (unbunt).

YCbCr-Farbmodell

Wahrnehmungsorientiert, für die Fernsehtechnik (europäisches PAL-System) entwickelt. Ziel: aus Farbbildern schnell vernünftige Grauwertbilder erzeugen. Komponenten:

• Y = Grundhelligkeit (luma)
• Cb = Blue-Yellow Chrominance (Blau-Gelb-Farbkomponente)
• Cr = Red-Green Chrominance (Rot-Grün-Farbkomponente)

Einsatz: JPEG-Komprimierung (Bilddaten) und MPEG-Komprimierung (Videodaten).

Helligkeitsgewichtung (merkfähig)

Der Y-Kanal gewichtet die RGB-Kanäle entsprechend der menschlichen Wahrnehmung (das Auge ist für Grün am empfindlichsten):

$$Y \approx 0{,}30 \cdot R + 0{,}60 \cdot G + 0{,}10 \cdot B$$

(ca. 30% Rot, 60% Grün, 10% Blau; die genauen Koeffizienten aus der Matrix sind 0,299 / 0,587 / 0,114.)

Umrechnungsmatrix (NICHT klausurrelevant)

Hinweis: Laut rotem handschriftlichem Vermerk auf der Folie (S. 17) gilt: "Die Matrixberechnung dient nur zur Information und ist nicht klausurrelevant!!!" Die konkreten Matrixkoeffizienten muss man nicht auswendig können - nur zur Vollständigkeit hier abgebildet.

Aus digitalem $R'G'B'$ (Wertebereich $\{0,\dots,255\}$):

$$\begin{bmatrix} Y' \\ Cb \\ Cr \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0 \\ 128 \\ 128 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0{,}299 & 0{,}587 & 0{,}114 \\ -0{,}168736 & -0{,}331264 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & -0{,}418688 & -0{,}081312 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} R'_d \\ G'_d \\ B'_d \end{bmatrix}$$

Der Additionsvektor $[0, 128, 128]^t$ verschiebt die Chrominanzkanäle in die Mitte des Wertebereichs. Die erste Matrixzeile ist die oben genannte Helligkeitsgewichtung.

Chroma-Subsampling (4:1:1)

Das Auge erkennt Helligkeitsunterschiede besser als kleine Farbton-/Farbsättigungsunterschiede. Daher wird dem Helligkeitswert Y doppelt so viel Speicherplatz zugewiesen wie den Farbwerten Cb und Cr.

4:1:1-Rechnung: Für 4 Pixel braucht man unkomprimiert $4 \times 3 = 12$ Werte. Mit 4:1:1 speichert man 4 Y-Werte + 1 Cb + 1 Cr = 6 Werte:

$$\text{Komprimierungsrate} = \frac{12 - 6}{12} = 50\%$$

Gegenfarbtheorie von Hering

Die Gegenfarbtheorie von Hering (Hering's opponent-color theory) begründet die beiden Chrominanzachsen: Blau weist nie gelbliche Nuancen auf (und umgekehrt), Rot nie grünliche/türkise (und umgekehrt). Das erklärt die Achsen Cb (Blau-Gelb) und Cr (Rot-Grün). Weil Cb/Cr unscharf und wenig detailreich sind, lässt sich ihre Auflösung reduzieren (Downsampling), ohne den Bildeindruck wesentlich zu verschlechtern. Personen mit Rot-Grün-Sehschwäche nehmen die Cr-Komponente nur eingeschränkt wahr.

Vorteile wahrnehmungsorientierter Farbmodelle

• Entsprechen der menschlichen Wahrnehmung.
• Komprimierungsmöglichkeit (weglassen, was der Mensch nicht sieht).
• Keine Umrechnung bei Ausgabe auf Schwarz-Weiß-Geräten (Y-Kanal direkt nutzbar).
• Bildverarbeitungsalgorithmen brauchen weniger Berechnungsaufwand (z.B. Aufhellung, Kontrastverbesserung nur im Helligkeitskanal).

CIE-Farbräume

Die CIE (Commission Internationale de l'Eclairage) standardisierte 1931 das Farbsystem CIE XYZ, die Grundlage praktisch aller colorimetrischen Farbräume. Entscheidender Unterschied zu HSV/YCbCr:

CIE XYZ und CIELab erfassen alle vom Menschen wahrnehmbaren Farben - auch solche, die kein Beamer, Display oder Drucker ausgeben kann. HSV und YCbCr erfassen dagegen nur die von Ausgabegeräten darstellbaren Farben.

CIE XYZ

Bildet alle wahrnehmbaren Farben ab. Legt man drei Punkte für Rot, Grün, Blau im CIE-Farbdreieck fest, lassen sich alle Farben im aufgespannten Dreieck durch Mischen der Eckpunktfarben (Primärvalenzen) erzeugen. Das CIE xyY-Farbdiagramm (chromaticity diagram) ist ein 2D-Ausschnitt (Hufeisenform) aus dem 3D-CIE-XYZ-Raum.

CIELab (L*a*b*)

Wahrnehmungsorientiert und geräteneutral (device-independent). Komponenten:

• L* = Helligkeit (Luminanz): 0 = Schwarz, 100 = Weiß.
• a* = Rot-Grün-Achse: $-128$ = Grün, $+127$ = Rot.
• b* = Gelb-Blau-Achse: $-128$ = Blau, $+127$ = Gelb.

Verwendung: als "Übersetzer" zwischen unterschiedlichen Farbräumen (Farbmanagementsysteme, Photoshop). Vorteil: Je geringer der geometrische Abstand zwischen zwei Farbpunkten, desto ähnlicher sind sich die Farben. Dieses Verhältnis von geometrischer Distanz zu Wahrnehmung ist im CIELab linear (im Gegensatz zum CIE XYZ-Raum).

Farbgamut und Farbmanagement

Das Farbgamut (color gamut) ist die Untermenge des Farbraums, die ein Gerät darstellen (Monitor, Beamer) oder erfassen (Scanner, Kamera) kann. Kein Drucker kann alle wahrnehmbaren Farben drucken; bei Druckern hängt der Gamut auch vom Papier ab. Größenordnung der Gamuts:

$$\text{CIELab (bzw. CIE XYZ = alle wahrnehmbaren Farben)} \;>\; \text{RGB (auch HSV, YCbCr)} \;>\; \text{CMY}$$

Ein Farbmanagementsystem (color management system) sorgt dafür, dass Bildschirmfarben möglichst äquivalent gedruckt werden; einige Bildschirmfarben sind nur in Spezialdruckverfahren darstellbar.

Prüfungsrelevanz

• RGB und HSV gründlich - typischerweise eine volle Prüfungsfrage. RGB-Kanäle/Würfel und HSV (Hue/Saturation/Value) mit den Formeln $V = \max$, $S = 1 - \min/\max$, H als Farbwinkel ($0^\circ$ Rot, $120^\circ$ Grün, $240^\circ$ Blau); Grenzfälle $S=0$ und $S=1$.
• Zuordnung hardwareorientiert (RGB, RGBA, CMY, CMYK) vs. wahrnehmungsorientiert (HSV, YCbCr, CIE XYZ, CIELab) - muss sitzen.
• Additive vs. subtraktive Mischung (RGB = additiv/Licht/Display; CMY(K) = subtraktiv/Pigment/Druck).
• HSV-Kanalzerlegung erkennen und begründen (Graustufenbilder; weiß = max, schwarz = min) - typisches Aufgabenformat (z.B. "Kloster Blaubeuren").
• YCbCr: Bedeutung von Y, Cb, Cr; 4:1:1-Subsampling und 50% Komprimierung; Einsatz in JPEG/MPEG; Y-Gewichtung ca. 30/60/10 (R/G/B).
• CIELab-Achsen (L*, a*, b*) mit Wertebereichen; geräteneutral; lineare Wahrnehmungsdistanz.
• Farbgamut-Konzept und Größenverhältnis CIE > RGB > CMY.
• Explizit NICHT klausurrelevant: die YCbCr-Umrechnungsmatrix (S. 17) - Koeffizienten muss man nicht auswendig können.

Typische Fehler

• HSV verwechseln: $V = \max(r,g,b)$ (nicht der Mittelwert); S nutzt das max-min-Verhältnis.
• CMY/CMYK-Schwarz falsch: $(0,0,0,1)$ im CMYK ist Schwarz, nicht $(1,1,1,1)$.
• Verwechseln, welcher CIE-Raum wahrnehmungslinear ist: CIELab ist linear, CIE XYZ nicht.
• CIELab-Achsen falsch: a* = Rot-Grün, b* = Gelb-Blau (nicht umgekehrt); L* = Helligkeit.
• Cb/Cr verwechseln: Cb = Blau-Gelb, Cr = Rot-Grün.
• Additiv/subtraktiv falsch zuordnen (Licht wird heller = additiv; Pigment/Papier filtert = subtraktiv, wird dunkler).
• Annehmen, HSV/YCbCr könnten alle wahrnehmbaren Farben erfassen - nein, nur die von Ausgabegeräten darstellbaren; nur CIE XYZ/CIELab erfassen alle.
• Bei der Kanalzerlegung die Leserichtung vertauschen: weiß = hoher Wert (max), schwarz = niedriger Wert (min).

Glossar

Deutsch	English
Farbmodell / Farbraum	color model / color space
Grundfarben	primary colors
hardwareorientiert	hardware-oriented
wahrnehmungsorientiert	perception-oriented
additive Farbmischung	additive color mixing
subtraktive Farbmischung	subtractive color mixing
Unbuntgerade / Grauachse	achromatic axis / gray axis
Grauton / Grauwert	gray tone / gray value
Alpha-Kanal	alpha channel
Key (Schwarz)	key colour (K)
Chrominanz	chrominance
Intensität / Helligkeit	intensity / brightness
Farbton	hue
Sättigung	saturation
Wert (Helligkeit, V)	value
Kegel / Zylinder	cone / cylinder
Hexcone (Sechseckkegel)	hexcone
Grundhelligkeit (Y)	luma
Blau-Gelb-Chrominanz (Cb)	blue-yellow chrominance
Rot-Grün-Chrominanz (Cr)	red-green chrominance
Chroma-Subsampling / 4:1:1	chroma subsampling / 4:1:1
Komprimierungsrate	compression rate
Downsampling	downsampling
Gegenfarbtheorie von Hering	Hering's opponent-color theory
Rot-Grün-Sehschwäche	red-green color deficiency
colorimetrisch	colorimetric
CIE xyY-Farbdiagramm	chromaticity diagram
geräteneutral / geräteunabhängig	device-independent
Farbgamut	color gamut
Farbmanagementsystem	color management system
Primärvalenz	primary / corner color