Probeklausur 3 - Visual Computing

Teil a - Umrechnung RGB nach HSV. Formeln (Kapitel 10): $V = \max(r,g,b)$, $\;\Delta = \max - \min$, $\;S = \dfrac{\Delta}{\max}$ (bzw. $0$ falls $\max = 0$), und der Farbton

Farbe 1 $(1{,}0,\ 0{,}5,\ 0{,}0)$ - Orange:

• $V = \max = 1{,}0$, $\;\min = 0{,}0$, $\;\Delta = 1{,}0$
• $S = \dfrac{\Delta}{\max} = \dfrac{1{,}0}{1{,}0} = 1{,}0$
• $\max = r$, also $H = 60^\circ \cdot \dfrac{g-b}{\Delta} = 60^\circ \cdot \dfrac{0{,}5 - 0{,}0}{1{,}0} = 60^\circ \cdot 0{,}5 = 30^\circ$
• Ergebnis: $[\,30^\circ,\ 1{,}0,\ 1{,}0\,]_{\text{HSV}}$ (Orange liegt genau zwischen Rot bei $0^\circ$ und Gelb bei $60^\circ$).

Farbe 2 $(0{,}2,\ 0{,}2,\ 0{,}2)$ - Grauton:

• $V = 0{,}2$, $\;\min = \max = 0{,}2 \Rightarrow \Delta = 0$
• $S = \dfrac{0}{0{,}2} = 0$
• Wegen $S = 0$ ist $H$ undefiniert (unbunt).
• Ergebnis: $[\,\text{undef},\ 0,\ 0{,}2\,]_{\text{HSV}}$

Farbe 3 $(0{,}0,\ 0{,}6,\ 0{,}3)$ - Frühlingsgrün:

• $V = \max = 0{,}6$, $\;\min = 0{,}0$, $\;\Delta = 0{,}6$
• $S = \dfrac{0{,}6}{0{,}6} = 1{,}0$
• $\max = g$, also $H = 60^\circ \cdot \left(\dfrac{b-r}{\Delta} + 2\right) = 60^\circ \cdot \left(\dfrac{0{,}3 - 0{,}0}{0{,}6} + 2\right) = 60^\circ \cdot (0{,}5 + 2) = 150^\circ$
• Ergebnis: $[\,150^\circ,\ 1{,}0,\ 0{,}6\,]_{\text{HSV}}$ (liegt zwischen Grün bei $120^\circ$ und Cyan bei $180^\circ$).

Teil b - Umrechnung HSV nach RGB. Formeln (Kapitel 10): $C = V \cdot S$, $\;H' = \dfrac{H}{60^\circ}$, $\;X = C \cdot \bigl(1 - |\,H' \bmod 2 - 1\,|\bigr)$, $\;m = V - C$. Je nach Sektor von $H'$:

Am Ende: $(R, G, B) = (R' + m,\ G' + m,\ B' + m)$.

Farbe 4 $(240^\circ,\ 1{,}0,\ 0{,}5)$:

• $C = V \cdot S = 0{,}5 \cdot 1{,}0 = 0{,}5$
• $H' = \dfrac{240}{60} = 4 \Rightarrow$ Sektor $[4,5)$, also $(R', G', B') = (X, 0, C)$
• $X = C \cdot \bigl(1 - |\,4 \bmod 2 - 1\,|\bigr) = 0{,}5 \cdot \bigl(1 - |0 - 1|\bigr) = 0{,}5 \cdot (1 - 1) = 0$
• $m = V - C = 0{,}5 - 0{,}5 = 0$
• $(R, G, B) = (0 + 0,\ 0 + 0,\ 0{,}5 + 0) = (0{,}0,\ 0{,}0,\ 0{,}5)$ - halbhelles Blau. Probe: $\max = 0{,}5 = V$ ✓, $S = 0{,}5/0{,}5 = 1$ ✓.

Farbe 5 $(30^\circ,\ 1{,}0,\ 1{,}0)$:

• $C = 1{,}0 \cdot 1{,}0 = 1{,}0$
• $H' = \dfrac{30}{60} = 0{,}5 \Rightarrow$ Sektor $[0,1)$, also $(R', G', B') = (C, X, 0)$
• $X = C \cdot \bigl(1 - |\,0{,}5 \bmod 2 - 1\,|\bigr) = 1{,}0 \cdot \bigl(1 - |0{,}5 - 1|\bigr) = 1{,}0 \cdot (1 - 0{,}5) = 0{,}5$
• $m = 1{,}0 - 1{,}0 = 0$
• $(R, G, B) = (1{,}0,\ 0{,}5,\ 0{,}0)$ - reines Orange. Das ist genau die Umkehrung von Farbe 1 aus Teil a ✓.

Kapitelbezug: Kapitel 10: Farbräume.

Typischer Fehler: $S$ mit $V$ verwechseln oder $V$ als Mittelwert berechnen. Merke: $V = \max(r,g,b)$ (nicht der Durchschnitt), $S$ ist der relative Abstand von Grau ($\Delta / \max$). Bei der Rückrichtung nicht vergessen, $m$ am Ende auf alle drei Kanäle zu addieren.

a) Der index gibt die Vertex-Attribut-Position (vertex attribute index) an, aus der das Attribut im VAO/VBO gelesen wird. Er entspricht dem index in glVertexAttribPointer(index, ...) bzw. glEnableVertexAttribArray(index). Hier werden gebunden: $0$ = Position (vertex), $1$ = Normale (vertex_normal), $2$ = Vertexfarbe (vertex_color).

b) Eine uniform Variable ist eine globale, für alle Vertices bzw. Fragmente eines Draw-Calls konstante Eingabe, die von der Anwendung (CPU) per glUniform* / glUniformMatrix*fv gesetzt und per Variablenname (via glGetUniformLocation) adressiert wird. Im Shader ist sie READ-ONLY. In der Verwendung gibt es keinen prinzipiellen Unterschied: brightness wird mit glUniform1f gesetzt, die Matrizen mit glUniformMatrix4fv; beide sind pro Draw-Call konstant. brightness ist nur ein einzelner Skalar (float), die Matrizen sind $4\times4$-Werte (mat4).

c) Beide out-Werte des Vertex-Shaders werden bei der Rasterisierung automatisch über das Primitiv (Dreieck) interpoliert (perspektivisch korrekt) und kommen als gleichnamige in-Variablen im Fragment-Shader an. Die Kopplung erfolgt über gleichen Namen und Typ. Eine Normale sollte im Fragment-Shader erneut mit normalize() normiert werden, weil die lineare Interpolation zweier Einheitsvektoren im Allgemeinen keinen Einheitsvektor mehr ergibt (die interpolierte Länge ist meist kleiner als $1$), was Beleuchtungsrechnungen verfälschen würde.

d) Bei Spaltenvektoren werden die Matrizen von rechts nach links angewendet:

Zuerst bringt die Model-Matrix $\mathbf{M}$ den Vertex vom lokalen ins Weltkoordinatensystem, dann die View-Matrix $\mathbf{V}$ ins Kamerakoordinatensystem, zuletzt die Projektions-Matrix $\mathbf{P}$ in den Clip-Raum. Das 1.0 homogenisiert die 3D-Position zu einem vec4 mit $w = 1{,}0$; nur mit $w = 1$ wirken die Translationsanteile (letzte Spalte der $4\times4$-Matrizen). Ein reiner Richtungsvektor (z.B. eine Normale) bekäme stattdessen $w = 0$.

e) gluLookAt definiert die View-Matrix über drei Vektoren:

• a = Augpunkt / Kameraposition (eye) - wo die Kamera steht.
• b = Blickpunkt / Zielpunkt (center) - wohin die Kamera schaut.
• c = Up-Vektor (up) - welche Richtung "oben" ist.

f)

1. glEnable(GL_DEPTH_TEST) schaltet den Tiefentest (z-Buffer-Test) ein.
2. glDepthFunc(GL_LESS) legt fest, dass ein Fragment nur gezeichnet wird, wenn sein Tiefenwert kleiner (also näher an der Kamera) ist als der bereits gespeicherte.
3. glClearDepth(1.0) setzt den Wert, mit dem der Tiefenpuffer beim Löschen gefüllt wird ($1{,}0$ = maximale, weiteste Entfernung), damit jedes reale Fragment den Test zunächst besteht.

Kapitelbezug: Kapitel 6: Shaderprogrammierung, Kapitel 7: Kameras, Kapitel 8: Rendering-Pipeline.

Tipp: Die interpolierte Normale immer im Fragment-Shader neu normieren. Und: uniform (konstant pro Draw-Call, per Name adressiert) sauber von in-Vertex-Attributen (variieren pro Vertex, per location-Index adressiert) trennen.

Teil a - Transformationen pro Blatt (Basiselemente sind Einheitskreis und Standarddreieck):

• Sonne: Einheitskreis ($r=1$) auf $r=1{,}5$ vergrössern, Zentrum bleibt im Ursprung -> Skalierung$(1{,}5,\ 1{,}5)$.
• Kleiner Kreis: Einheitskreis auf $r=0{,}5$ verkleinern, dann an die Position schieben -> Skalierung$(0{,}5,\ 0{,}5)$, danach Translation$(1,\ 1)$. Reihenfolge beachten: erst skalieren (um den Ursprung), dann verschieben, sonst wird der Abstand zum Ursprung mitskaliert.
• Segel: Standarddreieck um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn drehen (das entspricht Rotation$(-90^\circ)$), auf doppelte Grösse Skalierung$(2,\ 2)$, dann an die Position Translation$(-2,\ 0)$. Anwendungsreihenfolge am Objekt: erst Skalierung, dann Rotation, dann Translation.

Vererbung: Im Szenegraphen erben Kind-Objekte die Transformationen ihres Elternknotens. Eine Transformation, die auf alle Teile wirken soll (z.B. das ganze Boot verschieben), notiert man einmal am Elternknoten Segelboot; sie wird mit den blattspezifischen Transformationen zur akkumulierten Matrix verkettet. Bei Spaltenvektoren steht die Wurzel-Transformation dabei ganz links (wirkt als äusserste, zuletzt angewandte Transformation).

Teil b - homogene Transformation.

1. Matrizen aufstellen. Skalierung mit $(s_x, s_y) = (2, 1)$ und Rotation mit $\varphi = 90^\circ$ ($\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$):

2. Kombinierte Matrix $M = R \cdot S$. Zuerst skalieren, dann rotieren, also steht $S$ rechts (direkt am Punkt):

Anwendung auf $\vec{P} = (2,\ 2,\ 1)^T$:

Also $P' = (-2,\ 4)$.

Probe (schrittweise): Skalierung zuerst: $(2,2) \cdot (2,1) = (4,\ 2)$. Dann Rotation $90^\circ$ CCW: $(-y,\ x) = (-2,\ 4)$ ✓ - stimmt mit $M\,\vec{P}$ überein.

3. Umgekehrte Reihenfolge $S \cdot R$:

Also $P'' = (-4,\ 2) \neq (-2,\ 4)$. Probe: erst Rotation $(2,2) \to (-2, 2)$, dann Skalierung $(2,1) \to (-4, 2)$ ✓. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: $R \cdot S \neq S \cdot R$.

Kapitelbezug: Kapitel 5: Transformationen (homogene Koordinaten, Rotations- und Skalierungsmatrix, Szenegraph, Nicht-Kommutativität).

Typischer Fehler: Die zuerst anzuwendende Transformation links statt rechts notieren. Bei Spaltenvektoren steht die erste Transformation direkt am Punkt, also ganz rechts. Ausserdem: $90^\circ$ im Uhrzeigersinn entspricht $\varphi = -90^\circ$ (also $\sin(-90^\circ) = -1$).

Teil a - benötigte Vektoren (alle normiert) an $P$:

• $\vec{N}$ = Normale der Oberfläche.
• $\vec{L}$ = Lichtvektor, zeigt von $P$ zur Lichtquelle.
• $\vec{R}$ = Reflexionsvektor, Spiegelung von $\vec{L}$ an $\vec{N}$.
• $\vec{V}$ = Sicht-/Blickvektor, zeigt von $P$ zur Kamera.

Winkel: $\alpha$ liegt zwischen $\vec{N}$ und $\vec{L}$ (steuert die diffuse Reflexion, $\cos\alpha = \vec{N}\circ\vec{L}$); $\beta$ liegt zwischen $\vec{R}$ und $\vec{V}$ (steuert die spekulare Reflexion, $\cos\beta = \vec{R}\circ\vec{V}$).

Teil b - diffuse und spekulare Helligkeit (Konstanten $= 1$):

Diffuse Reflexion (Lambert):

Spekulare Reflexion (Phong):

Rechenweg: $\cos 60^\circ = 0{,}5$, also

Teil c - vollständige Phong-Formel (einkanalig, eine Lichtquelle):

Einsetzen mit $\cos\alpha = 0{,}707$ und $\cos^{4}\beta = 0{,}0625$:

Die Gesamthelligkeit an $P$ beträgt also rund $0{,}60$ (ambienter Sockel $0{,}12$, diffus $0{,}42$, spekular $0{,}06$).

Wirkung von $k$: Ein grösserer Glanzexponent $k$ macht das spekulare Glanzlicht kleiner und härter (schärferer, konzentrierterer Glanzpunkt), weil $\cos^{k}\beta$ mit steigendem $k$ ausserhalb von $\beta = 0$ schneller gegen null fällt. Kleines $k$ ergibt ein grosses, weiches Highlight (matte Oberfläche).

Kapitelbezug: Kapitel 9: Visualisierungstechniken (Phong-Reflexionsmodell).

Typischer Fehler: $\alpha$ und $\beta$ vertauschen ($\alpha$ misst $\vec{N}$ zu $\vec{L}$, $\beta$ misst $\vec{R}$ zu $\vec{V}$) oder den Exponenten $k$ fälschlich auf den diffusen Term anwenden. $k$ gehört ausschliesslich zum spekularen Term. Ausserdem: der ambiente Term $M_d\cdot L_a$ steht ausserhalb der Summe und hat keinen $\cos$-Faktor.

Teil 1 - Vorgehen. Innerhalb eines Dreiecks werden die Vertexfarben über baryzentrische Gewichte (barycentric weights = Flächenverhältnisse) interpoliert. Für jeden Vertex ist das Gewicht der Anteil der gegenüberliegenden Teildreiecksfläche an der Gesamtfläche:

Der Farbwert ist dann die gewichtete Summe $\vec{c}(p) = w_1\,\vec{c}_1 + w_2\,\vec{c}_2 + w_3\,\vec{c}_3$. Die Dreiecksfläche berechnet man mit

Teil 2 - Rechnung.

Gesamtfläche mit $v_1=(2,2)$, $v_2=(8,2)$, $v_3=(5,8)$:

• $A_1 = \triangle(p, v_2, v_3)$ mit $p=(5,3)$: $\tfrac12\,|\,5(2-8) + 8(8-3) + 5(3-2)\,| = \tfrac12\,|-30 + 40 + 5| = \tfrac12\cdot 15 = 7{,}5 \Rightarrow w_1 = \dfrac{7{,}5}{18} = \dfrac{5}{12}$
• $A_2 = \triangle(v_1, p, v_3)$: $\tfrac12\,|\,2(3-8) + 5(8-2) + 5(2-3)\,| = \tfrac12\,|-10 + 30 - 5| = \tfrac12\cdot 15 = 7{,}5 \Rightarrow w_2 = \dfrac{7{,}5}{18} = \dfrac{5}{12}$
• $A_3 = \triangle(v_1, v_2, p)$: $\tfrac12\,|\,2(2-3) + 8(3-2) + 5(2-2)\,| = \tfrac12\,|-2 + 8 + 0| = \tfrac12\cdot 6 = 3 \Rightarrow w_3 = \dfrac{3}{18} = \dfrac{1}{6}$

Probe: $\dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$ ✓

Farbwert:

Der Punkt liegt tief (nahe der Basiskante $v_1 v_2$) und weit von $v_3$ (Blau) entfernt, deshalb sind Rot- und Grünanteil gleich gross und der Blauanteil klein.

Kapitelbezug: Kapitel 8: Rendering-Pipeline (lineare Farbinterpolation im Dreieck).

Tipp: Immer die Probe $\sum w_i = 1$ machen. Das Gewicht $w_i$ gehört zur gegenüberliegenden Teilfläche $A_i$ (nicht zu der Teilfläche, die $v_i$ enthält). Liegt $p$ nahe an $v_i$, muss $w_i$ gross sein.

a - ungerade Kernelgrösse und Wirkung von $F$. Ein ungerader Kernel ($3\times3$, $5\times5$, ...) hat ein eindeutiges Zentrum. Nur so lässt sich das Faltungsergebnis genau einem Ausgangspixel zuordnen, und der Kernel ist symmetrisch um dieses Zentrum (kein Halbpixel-Versatz).

$F$ ist der Sobel-Operator in y-Richtung: er bildet die gewichtete Differenz zwischen der oberen und der unteren Zeile (obere Zeile $+$, untere Zeile $-$, mittlere Spalte doppelt gewichtet). Er ist ein Kanten-/Ableitungsoperator (erste Ableitung in vertikaler Richtung) und hebt damit horizontale Kanten hervor (Grauwertsprünge von oben nach unten). Bemerkenswert: die Koeffizientensumme ist $0$ ($1+2+1-1-2-1 = 0$). Deshalb liefert er in konstanten Flächen den Wert $0$ und reagiert nur an Kanten; er braucht keine weitere additive Grauwertkorrektur, um konstante Bereiche auf $0$ abzubilden.

b - Laplace-Operator.

Bei einem $3\times3$-Kernel auf einem $4\times4$-Bild bleiben die $2\times2$ inneren Pixel (Zeilen/Spalten $1$ und $2$, von $0$ gezählt):

• Pixel $(1,1) = 20$: $4\cdot20 - 20 - 20 - 20 - 80 = 80 - 140 = \mathbf{-60}$ (oben $20$, unten $20$, links $20$, rechts $80$)
• Pixel $(1,2) = 80$: $4\cdot80 - 80 - 80 - 20 - 80 = 320 - 260 = \mathbf{60}$ (oben $80$, unten $80$, links $20$, rechts $80$)
• Pixel $(2,1) = 20$: $4\cdot20 - 20 - 20 - 20 - 80 = 80 - 140 = \mathbf{-60}$
• Pixel $(2,2) = 80$: $4\cdot80 - 80 - 80 - 20 - 80 = 320 - 260 = \mathbf{60}$

Die Ergebnismatrix zeigt links und rechts der senkrechten Kante (Sprung $20 \to 80$ zwischen Spalte $1$ und $2$) betragsgleiche Ausschläge mit Vorzeichenwechsel (Nulldurchgang genau an der Kante). Konstante Bereiche ohne inneren Nachbarwechsel gäben $0$.

c - Median vs. Mittelwert.

Die 9 Werte sortiert: $5,\ 30,\ 30,\ 31,\ 31,\ 32,\ 32,\ 33,\ 34$.

Der Median ist der 5. Wert ($g_4$): $\mathbf{31}$.

Der Mittelwert ist

Aussage: Das Störpixel $5$ (Pfeffer-Rauschen, dunkler Ausreisser) zieht den Mittelwert nach unten auf $\approx 28{,}7$, obwohl alle echten Nachbarn um $31$ liegen. Der Median ($31$) entspricht dem tatsächlichen lokalen Grauwert und ignoriert den Ausreisser vollständig, weil dieser beim Sortieren an den Rand ($g_0$) wandert und daher nie als Median $g_4$ gewählt wird. Der Median ist hier klar überlegen und erzeugt zudem keine neuen Grauwerte.

d - Zusammenhangskomponenten (ZHK). Alle 9 Vordergrundpixel liegen auf den beiden Diagonalen eines "X" und berühren sich untereinander nur diagonal: Positionen (Zeile, Spalte): $(0,0),(0,4),(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,0),(4,4)$.

• N4-Nachbarschaft (nur oben/unten/links/rechts): Kein Vordergrundpixel hat einen 4-Nachbarn, der ebenfalls Vordergrund ist (alle Verbindungen sind diagonal). Jedes Pixel ist also eine eigene Komponente -> $\mathbf{9\ \text{ZHK}}$.
• N8-Nachbarschaft (zusätzlich die 4 Diagonalen): Beide Diagonalen sind lückenlos diagonal verbunden und treffen sich im Zentrum $(2,2)$. Das gesamte "X" bildet eine einzige Komponente -> $\mathbf{1\ \text{ZHK}}$.

Begründung: N8 verbindet zusätzlich diagonal berührende Pixel, deshalb ergibt dasselbe Bild mit N8 immer gleich viele oder weniger Komponenten als mit N4. Diagonale "Ketten" zerfallen bei N4 in lauter Einzelpixel, bei N8 verschmelzen sie.

Kapitelbezug: Kapitel 12: Bildverarbeitung - Lokale Operatoren (Faltung, Kantenoperatoren, Median, Segmentierung, ZHK).

Typischer Fehler: Beim Median den Durchschnitt statt des sortierten Mittelwerts bilden - der Median ist der Rang $g_4$, keine Rechnung. Beim Laplace das Randproblem übersehen: ein $3\times3$-Kernel ohne Randbehandlung liefert aus einem $4\times4$-Bild eine $2\times2$-Ergebnismatrix. Bei den ZHK die Nachbarschaftsdefinition (N4 vs N8) genau beachten.

Allgemein: $\text{mult} = \dfrac{g'_{max} - g'_{min}}{e_{max} - e_{min}}$; $\text{add}$ so wählen, dass $e_{min}$ auf $g'_{min}$ fällt (bekannten Punkt einsetzen und auflösen).

a) $[-3,\ 9] \to [0,\ 48]$:

Probe: $-3 \mapsto 4\cdot(-3)+12 = 0$ ✓, $\;9 \mapsto 4\cdot9+12 = 48$ ✓.

Histogramm: Wegen $\text{mult} = 4 > 1$ wird der Wertebereich gespreizt (gestreckt). Die Balkenform bleibt erhalten, es entstehen aber Lücken (Kammform), weil benachbarte ganzzahlige Eingabewerte auf um $4$ auseinanderliegende Ausgabewerte abgebildet werden. Der Kontrast steigt.

b) $[-3,\ 9] \to [5,\ 11]$:

Probe: $-3 \mapsto 0{,}5\cdot(-3)+6{,}5 = 5$ ✓, $\;9 \mapsto 0{,}5\cdot9+6{,}5 = 11$ ✓.

Kontrast: Wegen $\text{mult} = 0{,}5 < 1$ wird der Wertebereich gestaucht, das Ergebnis ist kontrastärmer (die Grauwertspanne schrumpft von $12$ auf $6$).

c) glm::perspective(a, b, c, d):

• a = fovy (vertikaler Öffnungswinkel / field of view in y)
• b = aspect (Seitenverhältnis Breite/Höhe)
• c = zNear (Abstand der nahen Clipping-Ebene)
• d = zFar (Abstand der fernen Clipping-Ebene)

Kapitelbezug: Kapitel 11: Bildbearbeitung - Punktoperatoren (lineare Grauwerttransformation, Histogramm), Kapitel 7: Kameras (perspektivische Projektion).

Typischer Fehler: add falsch bestimmen. Sichere Methode: $\text{mult}$ aus den Intervallbreiten berechnen, dann einen bekannten Punkt (z.B. $e_{min}$) einsetzen und nach add auflösen. Faustregel: $\text{mult} > 1$ spreizt (mehr Kontrast), $\text{mult} < 1$ staucht (weniger Kontrast).