Übungen: Farbmodelle & Farbräume

Übungsaufgaben zu RGB, RGBA, CMY(K), HSV, YCbCr und den CIE-Farbräumen (color models / color spaces), von der Grundlagenklassifikation bis zum Klausur-Niveau.

Beginner

Aufgabe 1 (Beginner) - Hardware- vs. wahrnehmungsorientiert

Ordne die folgenden Farbmodelle jeweils der Kategorie hardwareorientiert (hardware-oriented) oder wahrnehmungsorientiert (perception-oriented) zu: RGB, HSV, CMYK, YCbCr, RGBA, CIELab.

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Farbmodell	Kategorie
RGB	hardwareorientiert
RGBA	hardwareorientiert
CMYK	hardwareorientiert
HSV	wahrnehmungsorientiert
YCbCr	wahrnehmungsorientiert
CIELab	wahrnehmungsorientiert

Merkregel: Hardwareorientierte Modelle richten sich an der Technik der Ein-/Ausgabegeräte aus (Display, Drucker): RGB, RGBA, CMY, CMYK. Wahrnehmungsorientierte Modelle trennen Chrominanz (chrominance) von Helligkeit (intensity) und bilden die menschliche Wahrnehmung ab: HSV, YCbCr, CIE XYZ, CIELab.

Tipp: RGBA ist trotz des vierten Kanals (Alpha) hardwareorientiert. Der Alpha-Kanal ist eine technische Erweiterung (Transparenz), kein zusätzlicher Wahrnehmungskanal.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 2 (Beginner) - Additive vs. subtraktive Mischung

Ein Bildschirm und ein Drucker erzeugen Farben nach zwei gegensätzlichen Prinzipien. Erkläre, welches Gerät additiv (additive) und welches subtraktiv (subtractive) mischt, und was jeweils mit der Helligkeit passiert, wenn eine weitere Komponente hinzukommt.

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Bildschirm / Display = additive Farbmischung. Selbstleuchtendes Gerät. Kommt eine weitere Lichtfarbe hinzu, nimmt die Intensität zu (es wird heller). Zwei Taschenlampen beleuchten eine Fläche heller als eine. Ergebnis: $\text{Rot} + \text{Grün} + \text{Blau} = \text{Weiß}$ .
Drucker = subtraktive Farbmischung. Farbpigment auf weißem Papier filtert Frequenzbereiche heraus. Kommt ein weiteres Pigment hinzu, nimmt die Intensität ab (es wird dunkler). Ergebnis: $\text{Cyan} + \text{Magenta} + \text{Yellow} = \text{Schwarz (theoretisch)}$ .

Zuordnung: RGB = additiv (Licht/Display), CMY(K) = subtraktiv (Pigment/Druck).

Typischer Fehler: Additiv und subtraktiv vertauschen. Merke: Licht addieren wird heller (additiv), Pigment auftragen wird dunkler (subtraktiv).

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 3 (Beginner) - Grauton in HSV

Gegeben ist die RGB-Farbe $[0{,}4,\ 0{,}4,\ 0{,}4]^t$ im Wertebereich $[0,1]$ . Berechne $V$ (Value) und $S$ (Saturation) und begründe, was mit dem Farbton $H$ passiert.

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Schritt 1 - Maximum und Minimum bestimmen: $\max(r,g,b) = 0{,}4$ und $\min(r,g,b) = 0{,}4$ .

Schritt 2 - Value:

V = \max(r,g,b) = 0{,}4

Schritt 3 - Saturation:

S = 1 - \frac{\min(r,g,b)}{\max(r,g,b)} = 1 - \frac{0{,}4}{0{,}4} = 1 - 1 = 0

Schritt 4 - Hue: Bei $S = 0$ liegt die Farbe auf der Unbuntgeraden (achromatic axis, $r=g=b$ ). Es ist ein reiner Grauton ohne Farbigkeit, daher ist der Farbton $H$ beliebig / undefiniert.

Ergebnis: $[\text{beliebig},\ 0,\ 0{,}4]^t_{\text{HSV}}$ .

Tipp: $S = 0$ ist der sichere Indikator für einen Grauwert. Minimale Sättigung tritt genau dann auf, wenn $\min = \max$ .

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 4 (Beginner) - Ausgezeichnete RGB-Farben benennen

Benenne die folgenden RGB-Vektoren (Wertebereich $[0,1]$ ) und gib an, ob es sich um eine Primär- oder Sekundärfarbe handelt: (a) $[1,1,0]^t$ , (b) $[0,1,1]^t$ , (c) $[1,0,1]^t$ , (d) $[1,1,1]^t$ .

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Vektor	Farbe	Typ	Herleitung (additive Mischung)
$[1,1,0]^t$	Gelb	Sekundärfarbe	Rot + Grün
$[0,1,1]^t$	Zyan / Cyan	Sekundärfarbe	Grün + Blau
$[1,0,1]^t$	Magenta	Sekundärfarbe	Rot + Blau
$[1,1,1]^t$	Weiß	-	Rot + Grün + Blau

Die Sekundärfarben entstehen durch additive Mischung zweier Primärfarben (Rot, Grün, Blau). Weiß ist die Summe aller drei Primärfarben und liegt in der Ecke des RGB-Würfels gegenüber vom Ursprung (Schwarz).

Tipp: Das Aussehen einer RGB-Farbe wird in erster Linie durch die größte(n) Komponente(n) bestimmt. Zwei Komponenten auf $1$ und eine auf $0$ ergibt immer eine Sekundärfarbe.

Quelle: Kapitel 3: Farben und Primitive

Fortgeschritten

Aufgabe 5 (Fortgeschritten) - RGB nach HSV umrechnen

Rechne die RGB-Farbe $[0{,}8,\ 0{,}8,\ 0{,}2]^t$ (Wertebereich $[0,1]$ ) vollständig in HSV um. Gib $V$ , $S$ und $H$ mit Zwischenschritten an.

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Schritt 1 - Maximum und Minimum: $\max = 0{,}8$ (das sind $r$ und $g$ ), $\min = 0{,}2$ (das ist $b$ ).

Schritt 2 - Value:

V = \max(r,g,b) = 0{,}8

Schritt 3 - Saturation:

S = 1 - \frac{\min}{\max} = 1 - \frac{0{,}2}{0{,}8} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75

Schritt 4 - Hue: Das Maximum teilen sich der rote und der grüne Kanal ( $r = g$ ), Blau ist das Minimum. Rot ( $0^\circ$ ) und Grün ( $120^\circ$ ) mischen sich genau zu Gelb, das im Farbkreis bei $60^\circ$ liegt. Also:

H = 60^\circ

Ergebnis: $[60^\circ,\ 0{,}75,\ 0{,}8]^t_{\text{HSV}}$ - ein kräftiges, etwas abgedunkeltes Gelb.

Typischer Fehler: $V$ als Mittelwert der Kanäle berechnen. Es gilt $V = \max(r,g,b)$ , nicht der Durchschnitt.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 6 (Fortgeschritten) - RGB nach CMY und reines Schwarz in CMYK

(a) Rechne die RGB-Farbe $[0{,}2,\ 0{,}6,\ 0{,}8]^t$ in CMY um. (b) Wie wird reines Schwarz in CMY und in CMYK dargestellt, und warum braucht der Druck den K-Kanal?

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(a) CMY ist das negierte RGB. Umrechnung bei Wertebereich $[0,1]$ :

C = 1 - R = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

M = 1 - G = 1 - 0{,}6 = 0{,}4

Y = 1 - B = 1 - 0{,}8 = 0{,}2

Ergebnis: $[0{,}8,\ 0{,}4,\ 0{,}2]^t_{\text{CMY}}$ .

(b) Reines Schwarz:

\text{Reines Schwarz} = (1,1,1)^t_{\text{CMY}} = (0,0,0,1)^t_{\text{CMYK}}

Im Druck sieht die Mischung aus vollem Cyan-, Magenta- und Yellow-Pigment nicht sauber schwarz aus. Deshalb erweitert CMYK das Modell um K = Key (die schwarze Schlüsselplatte). Reines Schwarz wird über den K-Kanal erzeugt statt über volle C/M/Y; der K-Kanal erhöht außerdem die Kontraste.

Typischer Fehler: Schwarz in CMYK als $(1,1,1,1)$ angeben. Richtig ist $(0,0,0,1)$ : kein C/M/Y, nur voller Key.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 7 (Fortgeschritten) - RGBA und Alpha-Kanal

Multiple Choice: Welche Aussagen über das RGBA-Modell sind korrekt? (Mehrere Antworten möglich.)

Der Alpha-Kanal (A) speichert die Transparenz / Deckkraft.
Der Alpha-Kanal ist ein vierter Wahrnehmungskanal des Menschen.
In der typischen 32-Bit-Speicherung entfallen 8 Bit auf jeden der vier Kanäle.
Die Reihenfolge der Überlagerung halbtransparenter Flächen beeinflusst das Mischergebnis.

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Korrekt: 1, 3, 4. Falsch: 2.

(1) richtig: A = Alpha steht für Transparenz / Deckkraft und ermöglicht überlappende, transparente Farbflächen (z.B. in OpenGL).
(2) falsch: Der Mensch besitzt drei Zapfentypen, deshalb arbeiten Farbmodelle mit drei Grundfarben. Der Alpha-Kanal ist eine rein technische Erweiterung, kein Wahrnehmungskanal.
(3) richtig: Typisch sind 32 Bit gesamt, also $4 \times 8 = 32$ Bit (je 8 Bit für A, R, G, B).
(4) richtig: Welche halbtransparente Fläche "oben" liegt, verändert die resultierende Überlappungsfarbe.

Tipp: RGBA bleibt hardwareorientiert. Der Zusatzkanal ändert die Kategorie nicht.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Anspruchsvoll

Aufgabe 8 (Anspruchsvoll) - RGB nach HSV mit Farbwinkel

Rechne die RGB-Farbe $[0{,}2,\ 0{,}6,\ 0{,}8]^t$ in HSV um. Bestimme insbesondere den Farbwinkel $H$ und begründe, in welchem Sektor er liegt.

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Schritt 1 - Maximum und Minimum: $\max = 0{,}8$ (Kanal $b$ ), $\min = 0{,}2$ (Kanal $r$ ), Spanne $\max - \min = 0{,}6$ .

Schritt 2 - Value:

V = \max(r,g,b) = 0{,}8

Schritt 3 - Saturation:

S = \frac{\max - \min}{\max} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75

Schritt 4 - Hue: Das Maximum liegt im blauen Kanal, also liegt der Farbton nahe Blau ( $240^\circ$ ). Der zweitgrößte Kanal ist Grün ( $0{,}6 > 0{,}2$ ), also geht der Ton in Richtung Cyan ( $180^\circ$ ); der Farbton liegt somit zwischen Cyan und Blau.

Für den genauen Winkel nutzt man die Sektorformel (Verallgemeinerung des Worked Example aus dem Kapitel, Sektorbreite $60^\circ$ ). Für $\max = b$ :

H = 60^\circ \cdot \left( \frac{r - g}{\max - \min} + 4 \right) = 60^\circ \cdot \left( \frac{0{,}2 - 0{,}6}{0{,}6} + 4 \right) = 60^\circ \cdot \left( -\tfrac{2}{3} + 4 \right) = 60^\circ \cdot \tfrac{10}{3} = 200^\circ

Ergebnis: $[200^\circ,\ 0{,}75,\ 0{,}8]^t_{\text{HSV}}$ - ein gesättigter Cyan-Blau-Ton.

Kontrolle über die Geometrie: $200^\circ$ liegt $20^\circ$ oberhalb von Cyan ( $180^\circ$ ), also $\tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}$ des Weges von Cyan nach Blau. Passt zur Beobachtung "Blau dominiert, aber deutlich mit Grün gemischt".

Tipp: Sektor zuerst grob über das Maximum bestimmen (Rot $0^\circ$ , Grün $120^\circ$ , Blau $240^\circ$ ), dann über den zweitgrößten Kanal die Richtung. So erkennt man Rechenfehler sofort.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 9 (Anspruchsvoll) - YCbCr-Grundhelligkeit berechnen

Berechne die Grundhelligkeit (luma) $Y$ für die 8-Bit-RGB-Farbe $R = 200$ , $G = 100$ , $B = 50$ mit der merkfähigen Gewichtung ca. 30/60/10. Erkläre, warum Grün am stärksten gewichtet wird.

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Gewichtung nach menschlicher Wahrnehmung:

Y \approx 0{,}30 \cdot R + 0{,}60 \cdot G + 0{,}10 \cdot B

Einsetzen:

Y \approx 0{,}30 \cdot 200 + 0{,}60 \cdot 100 + 0{,}10 \cdot 50 = 60 + 60 + 5 = 125

Ergebnis: $Y \approx 125$ .

Begründung der Gewichtung: Das menschliche Auge ist für Grün am empfindlichsten, für Blau am wenigsten. Daher trägt Grün mit ca. 60 % am meisten zur wahrgenommenen Helligkeit bei, Rot mit ca. 30 %, Blau nur mit ca. 10 %.

Hinweis: Die exakten Matrixkoeffizienten sind $0{,}299 / 0{,}587 / 0{,}114$ . Laut Folienvermerk ist die Matrixberechnung nicht klausurrelevant; die gerundeten Werte 30/60/10 genügen.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 10 (Anspruchsvoll) - Chroma-Subsampling 4:1:1

Ein Videostrom wird von YCbCr mit 4:1:1-Subsampling komprimiert. (a) Wie viele Werte braucht man für 4 Pixel unkomprimiert, wie viele mit 4:1:1? (b) Berechne die Komprimierungsrate. (c) Warum darf man ausgerechnet Cb und Cr reduzieren?

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(a) Unkomprimiert speichert jedes Pixel 3 Werte (Y, Cb, Cr):

4 \text{ Pixel} \times 3 = 12 \text{ Werte}

Mit 4:1:1 behält man alle 4 Y-Werte, aber nur je 1 Cb und 1 Cr pro 4 Pixel:

4 \ (Y) + 1 \ (Cb) + 1 \ (Cr) = 6 \text{ Werte}

(b) Komprimierungsrate:

\frac{12 - 6}{12} = \frac{6}{12} = 50\%

(c) Das Auge erkennt Helligkeitsunterschiede (Y) besser als kleine Farbton- und Farbsättigungsunterschiede (Cb, Cr). Daher kann man die Auflösung der Chrominanzkanäle reduzieren (Downsampling), ohne den Bildeindruck wesentlich zu verschlechtern. Die Gegenfarbtheorie von Hering (opponent-color theory) begründet die Achsen Cb (Blau-Gelb) und Cr (Rot-Grün); diese Kanäle sind ohnehin unscharf und wenig detailreich.

Tipp: Der Vorteil wahrnehmungsorientierter Modelle ist genau das: weglassen, was der Mensch nicht sieht. YCbCr steckt deshalb in JPEG (Bild) und MPEG (Video).

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Klausur-Niveau

Aufgabe 11 (Klausur-Niveau) - Kanalzerlegung interpretieren (Diagramm)

Ein Farbbild mit einem kräftig gefärbten, gesättigten Motiv vor einem grauen / ungesättigten Hintergrund wird in seine HSV-Kanäle zerlegt und als drei Graustufenbilder dargestellt. Beschreibe für den S-Kanal (Sättigung), wie Hintergrund und Motiv erscheinen, und begründe es mit der Leseregel. Was wäre im Rotbereich am H-Kanal auffällig?

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Leseregel für Kanalzerlegungen: weiß = hoher Wert (max), schwarz = niedriger Wert (min).

S-Kanal (Sättigung):

Der graue / ungesättigte Hintergrund hat $S = 0$ (bei Grauwerten gilt $\min = \max$ ) und erscheint daher schwarz.
Das kräftig gefärbte Motiv hat eine hohe Sättigung und erscheint hell / weiß.

Kurz: Im S-Kanal hebt sich gesättigte Farbe hell vom unbunten (schwarzen) Hintergrund ab.

H-Kanal im Rotbereich: Rot liegt am Sprung von $0^\circ$ zu $360^\circ$ . Da beide Winkel dieselbe Farbe (Rot) meinen, aber auf $0$ bzw. Maximum abgebildet werden, entsteht ein harter Übergang von schwarz zu weiß an ein und derselben roten Fläche.

Typischer Fehler: Die Leserichtung vertauschen. Weiß bedeutet immer den hohen Wert (max), schwarz den niedrigen (min). Ein grauer Hintergrund im S-Kanal ist schwarz, nicht weiß.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 12 (Klausur-Niveau) - CIE-Farbräume, Gamut und CIELab

(a) Bringe die Farbräume nach der Größe des erfassten Farbumfangs in die richtige Reihenfolge: RGB, CMY, CIELab. (b) Nenne die drei CIELab-Achsen mit Wertebereichen. (c) Welcher der beiden CIE-Räume ist wahrnehmungslinear? (d) Können HSV und YCbCr alle wahrnehmbaren Farben erfassen?

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(a) Größenverhältnis der Gamuts:

\text{CIELab (alle wahrnehmbaren Farben)} \;>\; \text{RGB} \;>\; \text{CMY}

CIE XYZ / CIELab erfassen alle vom Menschen wahrnehmbaren Farben; RGB (und damit auch HSV, YCbCr) deckt weniger ab; CMY (Druck) am wenigsten.

(b) CIELab-Achsen:

Achse	Bedeutung	Wertebereich
$L^*$	Helligkeit (Luminanz)	$0$ = Schwarz bis $100$ = Weiß
$a^*$	Rot-Grün-Achse	$-128$ = Grün bis $+127$ = Rot
$b^*$	Gelb-Blau-Achse	$-128$ = Blau bis $+127$ = Gelb

(c) CIELab ist wahrnehmungslinear: Je geringer der geometrische Abstand zwischen zwei Farbpunkten, desto ähnlicher sind sich die Farben (lineares Verhältnis). CIE XYZ ist das nicht.

(d) Nein. HSV und YCbCr erfassen nur die von Ausgabegeräten darstellbaren Farben. Nur CIE XYZ und CIELab erfassen alle wahrnehmbaren Farben.

Typischer Fehler: $a^*$ und $b^*$ vertauschen. Merke: $a^* =$ Rot-Grün, $b^* =$ Gelb-Blau. Und: nicht annehmen, HSV/YCbCr deckten das volle sichtbare Spektrum ab.

Quelle: Kapitel 10: Farbräume

Aufgabe 13 (Klausur-Niveau) - Vollständige Umrechnung und Deutung

Gegeben die RGB-Farbe $[0{,}4,\ 0{,}7,\ 0{,}7]^t$ (Wertebereich $[0,1]$ ). (a) Rechne sie vollständig in HSV um. (b) Beschreibe die Farbe in Worten. (c) Wie sähe genau diese Farbe im S-Kanal einer Graustufen-Zerlegung im Vergleich zu einem Signalrot ( $S = 1$ ) aus?

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(a) Umrechnung nach HSV.

Schritt 1 - Maximum und Minimum: $\max = 0{,}7$ (Kanäle $g$ und $b$ ), $\min = 0{,}4$ (Kanal $r$ ).

Schritt 2 - Value:

V = \max(r,g,b) = 0{,}7

Schritt 3 - Saturation:

S = 1 - \frac{\min}{\max} = 1 - \frac{0{,}4}{0{,}7} = 1 - \tfrac{4}{7} = \tfrac{3}{7} \approx 0{,}43

Schritt 4 - Hue: Grün und Blau teilen sich das Maximum ( $g = b$ ), Rot ist das Minimum. Grün ( $120^\circ$ ) und Blau ( $240^\circ$ ) mischen sich genau zu Cyan, das im Farbkreis bei $180^\circ$ liegt:

H = 180^\circ

Ergebnis: $[180^\circ,\ \approx 0{,}43,\ 0{,}7]^t_{\text{HSV}}$ .

(b) Ein helles, aber wenig gesättigtes Cyan (blasses Türkis). Value ist recht hoch (0,7), die Sättigung mit ca. 0,43 mäßig, es steckt also ein deutlicher Weißanteil in der Farbe.

(c) Im S-Kanal (weiß = max, schwarz = min) erschiene dieses blasse Cyan als mittleres Grau ( $S \approx 0{,}43$ ). Ein voll gesättigtes Signalrot ( $S = 1$ ) erschiene dagegen weiß. Je gesättigter die Farbe, desto heller im S-Kanal.

Tipp: Wenn zwei Kanäle das Maximum teilen, landet der Farbton immer exakt auf einer Sekundärfarbe: $r=g \to$ Gelb $60^\circ$ , $g=b \to$ Cyan $180^\circ$ , $r=b \to$ Magenta $300^\circ$ .

Quelle: Kapitel 10: Farbräume